Distancia media entre las estrellas vecinas

Una de las inquietudes que siempre me han rondado es la posición que ocupa el ser humano en la galaxia. Para ello, he buscado información que me contestara a algunas preguntas que me asaltan:
¿Cuántas estrellas hay en la galaxia?
¿Cuál es la densidad de estrellas (número de estrellas por unidad de volumen) cerca del sol?
¿Cual es la distancia media entre una estrella y sus vecinas?

Estas preguntas que me hago surgen de la necesidad de hacerme un esquema del entorno que nos rodea para tratar de vislumbrar que lugar ocupa el sol en la galaxia.

Fruto de estas inquietudes os presento una sencillísima investigación que he hecho. Daos cuenta que este artículo que os presento no ha sido publicado nunca, por lo que ruego comprensión si detectais alguna errata ;-) . Quizá algún astrónomo o astrofísico pueda corregirme o indicarme si lo que he hecho es una tontería u obviedad.

En cualquier caso, espero que os interese.


DISTANCIA MEDIA ENTRE ESTRELLAS EN EL ENTORNO DEL SOL


Resumen: Se realiza una estimación de la media aritmética de las distancias entre el sol y las estrellas más cercanas. Dicha estimación parte del número de estrellas a menos de 5pc de éste obtenido a partir de los trabajos de RECONS. Se observa como en el entorno del sol la distancia media desde éste hasta las estrellas vecinas puede calcularse considerando al sol y sus vecinas como esferas empaquetadas de forma aleatoria y compacta en una red de Bravais como las empleadas en cristalografía, con un número de coordinación igual al de las esferas empaquetadas de forma aleatoria compacta.

1- Introducción.

Una red de Bravais es una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo traslaciones. Estas redes clasifican las diferentes estructuras cristalográficas y fueron descritas primero por Frankenheim (1842) y posteriormente con mayor precisión por Bravais (1848), el cual redujo el número de disposiciones de los nodos de las redes básicas desde 15 que había encontrado Frankenheim a un total de 14. Cualquier configuración de red estará pues formada por una o varias de las 14 redes básicas mínimas.

Por otra parte, para considerar distancias, densidades y distribuciones de estrellas en la galaxia, se suele atender a valores estadísticos como distancias medias, número de estrellas por volumen y otros.

Este trabajo describe cómo el promedio de las distancias desde las estrellas vecinas al sol se describe adecuadamente considerando los astros como elementos de una red cristalina compacta aleatoria.


2- Densidad de estrellas en el entorno del sol.

A partir de datos de RECONS, se estima que en una esfera de 5 parsecs de radio centrada en el sol, el número de estrellas incluyendo a éste es 68.


Por tanto, hay 68 estrellas en un volumen igual a:

La densidad de estrellas en dicha esfera centrada en el sol es:


A cada estrella correspondería en promedio un volumen de:
Entonces: ¿Cuál será la distancia media hasta las vecinas de una estrella?

Si el anterior volumen unitario es un cubo simple y las estrellas se hallan en los vértices de cada cubo, la distancia desde una estrella hasta sus vecinas más próximas será la longitud de arista (d) de forma que:

Pasando a años luz:
En cristalografía, d se denomina parámetro de red. En nuestro caso estaríamos hablando de un parámetro de red virtual correspondiente al promedio de las distancias entre el sol y sus 6 vecinas más próximas.

Pero… ¿Es ésta verdaderamente la distancia que en promedio existe desde una estrella hasta sus vecinas? ¿Puede estructurarse la disposición de estrellas en formas diferentes?

Para atender estas cuestiones, primero vamos a analizar la distancia media antes calculada. Correspondería a un arreglo cúbico regular, con las estrellas en los vértices de manera que cada una está rodeada por 6 vecinas, es decir, el número de coordinación de la celda unidad de esta estructura es 6. Esta disposición puede parecer muy adecuada, pues después de todo si se pretende teselar el espacio con un único tipo de poliedro regular, esto debe hacerse mediante cubos.

Sin embargo, como veremos, es posible colocar las estrellas en una red regular de otra manera diferente, de forma que la densidad de estrellas sea la misma, pero consiguiendo que el número de coordinación y la distancia promedio a las vecinas sea diferente y además coincidente con lo observado astronómicamente para el entorno del sol. En este caso el espacio podría quedar teselado mediante combinaciones de más de un tipo de poliedros regulares.

En lo que sigue, se trabajará con modelos de esferas empaquetadas mejor que con poliedros por una mayor sencillez y por que el resultado es equivalente.

3- Red cristalina compacta perfecta.

Observando la ubicación real de estrellas, la distribución de estas en el volumen considerado es en principio aparentemente aleatoria. Sin embargo, para poder estimar distancias medias entre estrellas vecinas, estableceremos la retícula regular equivalente, que permita colocar el mismo número de estrellas en el volumen dado, de forma que estén regularmente espaciadas, como ya hemos hecho antes en el caso de una red cúbica simple.

Para ello, en lugar de definir posiciones puntuales para cada estrella, se definen esferas con centro en la estrella y radio igual a la mitad de la distancia promedio entre estrellas vecinas. De ésta forma obtenemos un sistema equivalente formado por esferas tangentes con las más próximas y de radio igual a la mitad de la distancia hasta la vecina, que denominaremos dmed:

Existen diferentes formas de empaquetar esferas iguales de forma compacta mediante una red de Bravais. En el caso bidimensional, pueden empaquetarse circunferencias iguales formando una retícula de triángulos equiláteros cuyos vértices coincidan con los centros de las circunferencias.

En el caso tridimensional, el máximo empaquetamiento de esferas iguales se consigue mediante empaquetamiento hexagonal compacto o mediante empaquetamiento cúbico compacto (red cúbica centrada en las caras). Una forma de conseguir dichos empaquetamientos es apilando capas de empaquetamientos compactos bidimensionales, desplazando ligeramente cada capa apilada.
Estas representaciones corresponden a dos vistas de la celda unitaria con empaquetamiento cúbico compacto. El centro de la esfera interior (verde) correspondería a la posición del sol en nuestro modelo.

El número de coordinación de este empaquetamiento es 12, es decir, una celda unitaria contiene 13 esferas o cada esfera es tangente a 12, a diferencia del modelo cubico inicialmente considerado con un número de coordinación de 6.

El concepto de empaquetamiento proviene de la relación entre el volumen total de las esferas antes definidas, con el volumen total ocupado por la celda. En el caso de empaquetamiento compacto, esta relación sería la máxima posible.

Dado un volumen total V y siendo n el número total de esferas contenidas en dicho volumen y v´ el volumen de una esfera (centrada en una estrella y tangente a la vecina), se define el factor de empaquetamiento como:

La conjetura de Kepler, demostrada por Hales (2002), indica que el factor de empaquetamiento máximo para esferas iguales es:

4- Red cristalina compacta aleatoria. Modelando el entorno del sol.

Sin embargo, en la naturaleza no se dan empaquetamientos perfectos, si no que en un volumen ocupado por esferas colocadas al azar, aparecen defectos (pueden interpretarse como huecos no ocupados por esferas). La experiencia demuestra que una colección de esferas iguales colocadas al azar tenderá a alcanzar un factor de empaquetamiento “real” de:

Esto equivale a decir que el número medio de esferas por celda realmente es de:
Por tanto, las diferentes celdas centradas en cada estrella tienen un número de coordinación promedio o “número de coordinación virtual” de:
A partir de la población de estrellas en el entorno de 5pc del sol, podemos deducir las distancias medias entre vecinas sabiendo que las esferas ocupan un 64% del volumen disponible:

Calculando r:
Por tanto:
Convirtiendo parsec a años luz, tenemos que la distancia media es:

5- Distancias medias medidas astronómicamente.

Como comprobación, calcularemos la distancia media desde el sol a sus 10 vecinas más cercanas, redondeando a entero el número de estrellas de la celda centrada en el sol para el caso compacto aleatorio:

La distancia entre estrellas deducida a partir de empaquetamientos compactos aleatorios coincide con buena precisión (desviación del 1,1%) con el promedio de distancias catalogadas, considerando el número de coordinación virtual.

Sin embargo, para el caso cúbico simple con el que se empezó este artículo, la distancia media entre las 6 vecinas más próximas es:

Que comparada con la anteriormente estimada, 6,438 años luz, supone una desviación casi un orden de magnitud mayor (10,4%).

Resumiendo, habría que considerar que la distancia promedio hasta las estrellas vecinas se calcula a partir de:
Es decir, se aplica una corrección al alza de un 6,92% a la calculada suponiendo un arreglo cúbico.

6- Comprobaciones futuras.

Queda pendiente de realizar la comprobación de si este hecho es casual para el caso del sol o efectivamente el factor de empaquetamiento de las estrellas obedece a un modelo de empaquetamiento compacto aleatorio. Para ello debe realizarse el mismo cálculo con las estrellas a menos de 5pc del sol y las distancias medias a sus vecinas. Nótese que en los sistemas binarios se ha tomado cada estrella por separado. Esta comprobación podría hacerse con las 10 vecinas del sol, que forman su celda unitaria, repitiendo el cálculo realizado para el sol. El procedimiento consistiría en comprobar el número de coordinación redondeado a entero, de las diferentes celdas unitarias centradas en cada estrella de forma que el valor de calculado en cada caso sea lo más próximo posible a la distancia media calculada. Se verificaría lo propuesto en este artículo si el promedio de los números de coordinación de cada celda, fuera próximo a 10,243.



Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais
http://www.chara.gsu.edu/RECONS/TOP100.posted.htm

http://cse.ssl.berkeley.edu/chips_epo/EducationBrief/CHIPS-Educational_Brief.htm
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0305/0305012v1.pdf
http://mathworld.wolfram.com/BravaisLattice.html
http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html
http://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html
http://mathworld.wolfram.com/RandomClosePacking.html