viernes, 28 de marzo de 2008

Distancia media entre las estrellas vecinas

Una de las inquietudes que siempre me han rondado es la posición que ocupa el ser humano en la galaxia. Para ello, he buscado información que me contestara a algunas preguntas que me asaltan:
¿Cuántas estrellas hay en la galaxia?
¿Cuál es la densidad de estrellas (número de estrellas por unidad de volumen) cerca del sol?
¿Cual es la distancia media entre una estrella y sus vecinas?

Estas preguntas que me hago surgen de la necesidad de hacerme un esquema del entorno que nos rodea para tratar de vislumbrar que lugar ocupa el sol en la galaxia.

Fruto de estas inquietudes os presento una sencillísima investigación que he hecho. Daos cuenta que este artículo que os presento no ha sido publicado nunca, por lo que ruego comprensión si detectais alguna errata ;-) . Quizá algún astrónomo o astrofísico pueda corregirme o indicarme si lo que he hecho es una tontería u obviedad.

En cualquier caso, espero que os interese.


DISTANCIA MEDIA ENTRE ESTRELLAS EN EL ENTORNO DEL SOL



Resumen: Se realiza una estimación de la media aritmética de las distancias entre el sol y las estrellas más cercanas. Dicha estimación parte del número de estrellas a menos de 5pc de éste obtenido a partir de los trabajos de RECONS. Se observa como en el entorno del sol la distancia media desde éste hasta las estrellas vecinas puede calcularse considerando al sol y sus vecinas como esferas empaquetadas de forma aleatoria y compacta en una red de Bravais como las empleadas en cristalografía, con un número de coordinación igual al de las esferas empaquetadas de forma aleatoria compacta.


1- Introducción.

Una
red de Bravais es una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo traslaciones. Estas redes clasifican las diferentes estructuras cristalográficas y fueron descritas primero por Frankenheim (1842) y posteriormente con mayor precisión por Bravais (1848), el cual redujo el número de disposiciones de los nodos de las redes básicas desde 15 que había encontrado Frankenheim a un total de 14. Cualquier configuración de red estará pues formada por una o varias de las 14 redes básicas mínimas.


Por otra parte, para considerar distancias, densidades y distribuciones de estrellas en la galaxia, se suele atender a valores estadísticos como distancias medias, número de estrellas por volumen y otros.

Este trabajo describe cómo el promedio de las distancias desde las estrellas vecinas al sol se describe adecuadamente considerando los astros como elementos de una red cristalina compacta aleatoria.


2- Densidad de estrellas en el entorno del sol.


A partir de datos de RECONS, se estima que en una esfera de 5 parsecs de radio centrada en el sol, el número de estrellas incluyendo a éste es 68.


Por tanto, hay 68 estrellas en un volumen igual a:

La densidad de estrellas en dicha esfera centrada en el sol es:


A cada estrella correspondería en promedio un volumen de:
Entonces: ¿Cuál será la distancia media hasta las vecinas de una estrella?


Si el anterior volumen unitario es un cubo simple y las estrellas se hallan en los vértices de cada cubo, la distancia desde una estrella hasta sus vecinas más próximas será la longitud de arista (d) de forma que:

Pasando a años luz:
En cristalografía, d se denomina
parámetro de red. En nuestro caso estaríamos hablando de un parámetro de red virtual correspondiente al promedio de las distancias entre el sol y sus 6 vecinas más próximas.

Pero… ¿Es ésta verdaderamente la distancia que en promedio existe desde una estrella hasta sus vecinas? ¿Puede estructurarse la disposición de estrellas en formas diferentes?


Para atender estas cuestiones, primero vamos a analizar la distancia media antes calculada. Correspondería a un arreglo cúbico regular, con las estrellas en los vértices de manera que cada una está rodeada por 6 vecinas, es decir, el número de coordinación de la celda unidad de esta estructura es 6. Esta disposición puede parecer muy adecuada, pues después de todo si se pretende teselar el espacio con un único tipo de poliedro regular, esto debe hacerse mediante cubos.


Sin embargo, como veremos, es posible colocar las estrellas en una red regular de otra manera diferente, de forma que la densidad de estrellas sea la misma, pero consiguiendo que el número de coordinación y la distancia promedio a las vecinas sea diferente y además coincidente con lo observado astronómicamente para el entorno del sol. En este caso el espacio podría quedar teselado mediante combinaciones de más de un tipo de poliedros regulares.


En lo que sigue, se trabajará con modelos de esferas empaquetadas mejor que con poliedros por una mayor sencillez y por que el resultado es equivalente.


3- Red cristalina compacta perfecta.

Observando la ubicación real de estrellas, la distribución de estas en el volumen considerado es en principio aparentemente aleatoria. Sin embargo, para poder estimar distancias medias entre estrellas vecinas, estableceremos la retícula regular equivalente, que permita colocar el mismo número de estrellas en el volumen dado, de forma que estén regularmente espaciadas, como ya hemos hecho antes en el caso de una red cúbica simple.


Para ello, en lugar de definir posiciones puntuales para cada estrella, se definen esferas con centro en la estrella y radio igual a la mitad de la distancia promedio entre estrellas vecinas. De ésta forma obtenemos un sistema equivalente formado por esferas tangentes con las más próximas y de radio igual a la mitad de la distancia hasta la vecina, que denominaremos dmed:

Existen diferentes formas de empaquetar esferas iguales de forma compacta mediante una red de Bravais. En el caso bidimensional, pueden empaquetarse circunferencias iguales formando una retícula de triángulos equiláteros cuyos vértices coincidan con los centros de las circunferencias.

En el caso tridimensional, el máximo empaquetamiento de esferas iguales se consigue mediante empaquetamiento hexagonal compacto o mediante empaquetamiento cúbico compacto (red cúbica centrada en las caras). Una forma de conseguir dichos empaquetamientos es apilando capas de empaquetamientos compactos bidimensionales, desplazando ligeramente cada capa apilada.
Estas representaciones corresponden a dos vistas de la celda unitaria con empaquetamiento cúbico compacto. El centro de la esfera interior (verde) correspondería a la posición del sol en nuestro modelo.


El número de coordinación de este empaquetamiento es 12, es decir, una celda unitaria contiene 13 esferas o cada esfera es tangente a 12, a diferencia del modelo cubico inicialmente considerado con un número de coordinación de 6.


El concepto de empaquetamiento proviene de la relación entre el volumen total de las esferas antes definidas, con el volumen total ocupado por la celda. En el caso de empaquetamiento compacto, esta relación sería la máxima posible.

Dado un volumen total V y siendo n el número total de esferas contenidas en dicho volumen y v´ el volumen de una esfera (centrada en una estrella y tangente a la vecina), se define el factor de empaquetamiento como:

La conjetura de Kepler, demostrada por Hales (2002), indica que el factor de empaquetamiento máximo para esferas iguales es:



4- Red cristalina compacta aleatoria. Modelando el entorno del sol.


Sin embargo, en la naturaleza no se dan empaquetamientos perfectos, si no que en un volumen ocupado por esferas colocadas al azar, aparecen defectos (pueden interpretarse como huecos no ocupados por esferas). La experiencia demuestra que una colección de esferas iguales colocadas al azar tenderá a alcanzar un factor de empaquetamiento “real” de:





Esto equivale a decir que el número medio de esferas por celda realmente es de:
Por tanto, las diferentes celdas centradas en cada estrella tienen un número de coordinación promedio o “número de coordinación virtual” de:
A partir de la población de estrellas en el entorno de 5pc del sol, podemos deducir las distancias medias entre vecinas sabiendo que las esferas ocupan un 64% del volumen disponible:


Calculando r:
Por tanto:
Convirtiendo parsec a años luz, tenemos que la distancia media es:

5- Distancias medias medidas astronómicamente.



Como comprobación, calcularemos la distancia media desde el sol a sus 10 vecinas más cercanas, redondeando a entero el número de estrellas de la celda centrada en el sol para el caso compacto aleatorio:


La distancia entre estrellas deducida a partir de empaquetamientos compactos aleatorios coincide con buena precisión (desviación del 1,1%) con el promedio de distancias catalogadas, considerando el número de coordinación virtual.

Sin embargo, para el caso cúbico simple con el que se empezó este artículo, la distancia media entre las 6 vecinas más próximas es:


Que comparada con la anteriormente estimada, 6,438 años luz, supone una desviación casi un orden de magnitud mayor (10,4%).

Resumiendo, habría que considerar que la distancia promedio hasta las estrellas vecinas se calcula a partir de:
Es decir, se aplica una corrección al alza de un 6,92% a la calculada suponiendo un arreglo cúbico.



6- Comprobaciones futuras.

Queda pendiente de realizar la comprobación de si este hecho es casual para el caso del sol o efectivamente el factor de empaquetamiento de las estrellas obedece a un modelo de empaquetamiento compacto aleatorio. Para ello debe realizarse el mismo cálculo con las estrellas a menos de 5pc del sol y las distancias medias a sus vecinas. Nótese que en los sistemas binarios se ha tomado cada estrella por separado. Esta comprobación podría hacerse con las 10 vecinas del sol, que forman su celda unitaria, repitiendo el cálculo realizado para el sol. El procedimiento consistiría en comprobar el número de coordinación redondeado a entero, de las diferentes celdas unitarias centradas en cada estrella de forma que el valor de calculado en cada caso sea lo más próximo posible a la distancia media calculada. Se verificaría lo propuesto en este artículo si el promedio de los números de coordinación de cada celda, fuera próximo a 10,243.



Referencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais
http://www.chara.gsu.edu/RECONS/TOP100.posted.htm


5 comentarios:

JWolf dijo...

Hola cometo. Antes de nada felicitarte por el blog y por este artículo, se ve que está trabajado y es muy interesante. Espero que sigas publicando cosillas tan interesantes.

Yo la verdad que no soy un experto en el tema, ni matemático ni físico, por lo que con lo que he leído no puedo detectar errores, ya que no tengo la formación suficiente. De todas formas te plantearé una duda que me ha surgido mientras lo leía.

¿La conclusión es que, en promedio, la distancia de una estrella con su vecina es de 6 años luz aprox? Considerando vecinas a las 10 más cercanas a la estrella de referencia.

Si es así, creo que existen datos más que de sobra para comprobarlo experimentalmente no sólo con el Sol, sino con alguna otra estrella dentro del radio que te has propuesto.

Según mi modesta opinión, haberlo comprobado únicamente con un sistema no es suficiente, ya que careces de evidencias experimentales para apoyar tu teoría, por eso te animo a que realices la comprobación en algún sistema más, pudiendo pulir más los cálculos. Me cuesta hacerme a la idea homogénea que has dado de nuestro entorno estelar.

Desde luego me parece una teoría muy curiosa e interesante. La volveré a leer más despacio, para aclararme más jeje.

Deberías postearlo en el foro de MiGUi y en el de la Asociación Hubble, hay mucho nivel por allí (aunque de astrofísica más en MiGUi, y de astrometría más en Hubble) ;)

Un saludote.

cometo dijo...

Gracias, jwolf. La homogeneidad sería local y de las distancias promedio. Es decir, habría un "gradiente escalar de distancias promedio", pero la idea es hacer una estimación particularizada para el entorno del sol. Ahora mismo estoy repitiendo las estimaciones con las 10 estrellas que formarían la celda centrada en el sol, pero dispongo de muy poco tiempo para hacerlo. En cuanto lo tenga lo postearé. Si finalmente veo que el modelo no se ajusta a los datos, también merecerá la pena el trabajo, por que si no me quedaré con la duda. Básicamente la conclusión que saco, más que decir que la distancia promedio hasta las vecinas es de casi 7 años luz, lo que pretendo es que el modelo de "la raíz cúbica del volumen unitario" no sería adecuado, ya que la celda a considerar sería de 10 a 11 estrellas, no 6. Entonces el modelo sería "la raíz cúbica del 64% del volumen unitario multiplicado por 3 y dividido por 4 pi".

Saludos.

cometo dijo...

Perdón antes me faltó multiplicar por 2 ;-)

JWolf dijo...

Si hace unas horas escribí un comentario y acabo de entrar y no está.... igual me dio error la palabra esa para introducir y ni me fijé jeje.

Pues nada, decía que ya lo entendí todo y que te animes a hacer alguna comprobación experimental más. Cuando tengas los resultados coméntalo, a ver qué sale.

Un saludo ;)

graviton dijo...

Pues sí que es interesante la idea, después de todo parece más natural que las "cosas", sean iones, bolas de acero, o estrellas, se apilen de un modo tan "natural" como el empaquetamiento esférico que de una forma tan "humana" como el cúbico.

Saludos y felicidades por el trabajo.